LOGIKA MATEMATIKA ( Kuantor )

KUANTOR

Kuantor adalah suatu istilah yang menyatakan “berapa banyak” dari suatu objek dalam suatu sistem. Suatu kesimpulan dalam logika sering digambarkan menggunakan kuantor-kuantor sebagai berikut.

1.      Kuantor Universal (Kuantor Umum)

Pernyataan “Semua manusia adalah fana” dapat dinyatakan dengan “Untuk setiap obyek, obyek itu fana”.

Kata “obyek itu” adalah sebagai ganti “obyek” sebelumnya. Kata ini dinamakan variabel individual, yang dapat kita ganti dengan lambang “x”, sehingga kita peroleh :

“Untuk setiap x, x adalah fana”.

Lebih singkat lagi, sesuai dengan cara pemberian symbol pada pernyataan tunggal, kita peroleh :

“Untuk setiap x, Mx”.

Ungkapan “Untuk setiap (semua) x” disebut Kuantor Universal atau Kuantor Umum (Universal Quintifier), dan diberisimbol dengan “(∀)”. Dengan symbol batu ini kita dapat melengkapi simbolasi (pemberian symbol) pernyataan umum pertama tadi dengan notasi (∀x) Mx.

Tanda ∀ dibaca “untuk setiap” atau “untuk semua”. Notasi lain daripada ∀ adalah A. bahkan ada pula para ahli yang tidak mencantumkan kedua simbol ini dalam menyatakan Kuantor Umum, sehingga notasinya cukup dengan : (x) Mx.

Notasi (∀x) Mx, seperti diatas, dibaca “untuk setiap x, x mempunyai sifat “M”, atau “untuk setiap x, berlaku Mx”. Akibat adanya kuantor ∀x, maka Mx menjadi kalimat tertutup (pernyataan).

Contoh :

1)      Misalkan Mx : x + 2 > 0. Maka M (-¹/₂)  = -¹/₂ + 2 > 0 ada lah pernyataan yang B (benar).

2)      Misalkan x adalah bilangan real, maka (∀x) [x² + 2 > 0] mempunyai nilai kebenaran B (benar).

3)       Misalkan x adalah bilangan real, maka(∀x) [x² + 1 = 0] nilai kebenarannya S (salah).

2.      Kuantor Eksistensial (Kuantor Khusus)

Seperti halnya dalam menyusun ungkapan pernyataan umum pada Kuantor Umum di atas, kita pun dapat melakukan hal yang serupa untuk pernyataan “Sesuatu adalah fana”, dengan:

Ada paling sedikit satu yang fana.

Ada sekuran-kurangnya satu yang fana.

Ada paling sedikit satu obyek, sedemikian rupa sehingga obyek itu adalah fana.

Ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa sehingga x adalah fana.

Lebih singkat lagi dapat kita tulis :

Ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa sehingga Mx.

Pernyataan “Ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa sehingga”, atau “Ada sekurang-kurangnya satu x, sedemikian rupa sehingga” dinamakan “Kuantor Khusus” atau “Kuantor Eksistensial” (Exitential Quantifier), dan diberi simbol “(Ǝx)”. Dengan menggunakan symbol baru ini, kita dapat melengkapi penyimbolan terhadap pernyataan umum kedua di atas dengan : (Ǝx) Mx.

Pernyataan (Ǝx) Mx dibaca : Ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa sehingga Mx, atau beberapa x, sehingga berlaku Mx.

Contoh :

1)      (Ǝx) [x² + 1 = 0], dibaca “ada paling sedikit satu x, sehingga x² + 1 = 0”. Nilai kebenaran pernyataan ini adalah salah (S).

2)      (Ǝx) [2x + 5 ≠ 2 + 2x], dibaca “ ada paling sedikt satu x, sehingga 2x + 5 ≠ 2 + 2x”. nilai kebenarannya adalah benar (B).

Kuantifikasi Eksistensial dalam fungsi proposisi adalah benar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu substitution instansenya benar. Demikian pula, jika Kuantifikasi Universal sebuah proposisi benar, maka Kuantifikasi Eksistensialnya tentu benar pula. Ini berarti, jika (∀x) Mx benar, maka (Ǝx) Mx benar pula.

NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR

Perhatikan 2 pernyataan dibawah ini :

(1) Beberapa mahasiswa menganggap Kalkulus sukar.

(2) Tak ada mahasiswa yang suka menyontek.

Pernyataan (1) merupakan negasi dari “Semua mahasiswa tak menganggap Kalkulus sukar”, sedangkan pernyataan (2) merupakan negasi dari “Beberapa mahasiswa suka menyontek”.

Pada pernyataan-pernyataan di atas, pernyataan (2), yakni “Tak ada mahasiswa yang suka menyontek” sama dengan “Semua mahasiswa tak suka menyontek”. Ini berarti pernyataan (2) sebenarnya masih mempunyai bentuk kuantor (∀x) Mx.

Dari uraian di atas, kita dapat menarik kesimpulan bahwa negasi Kuantor mempunyai sifat-sifat berikut :

1)      Negasi dari Kuantor Universal sebuah fungsi proposisi adalah logically equivalent dengan Kuantor Eksistensial dari negasi fungsi proposisinya.

2)      Negasi dari Kuantor Eksistensial dari sebuah fungsi proposisi adalah logically equivalent dengan Kuantor Universal dari negasi fungsi proposisinya.

Dalam bentuk lambing dapat kita nyatakan dengan :

(a) ~ (∀x) Mx ≡ (Ǝx) ~ Mx

(b) ~ (Ǝx) Mx ≡ (∀x) ~ Mx

Contoh :

Tentukan negasi dari pernyataan berikut :

1.      Semua bilangan cacah adalah bilangan real.

2.      Beberapa bilangan asli adalah bilangan rasional.

3.      Tak ada bilangan prima yang genap.

4.      Semua mahasiswa tak suka menganggur.

5.      Tak ada guru yang senag jaipingan.

Jawab :

1.      Beberapa bilangan cacah adalah bukan bilangan real.

2.      Semua bilangan asli adalah bukan bilangan rasional.

3.      Beberapa bilangan prima ada yang genap.

4.      Ada paling sedikit satu mahasiswa (seorang mahasiswa) yang suka menganggur.

5.      Beberapa guru ada yang senang jaipongan.

PEMBUKTIAN VALIDITAS ARGUMEN BERKUANTOR

Untuk menyusun bukti langsung validitas sebuah argument yang mengandung kuantor dan fungsi proposisi, kita memerlukan aturan tambahan yang baru. Pada bagian ini kita akan menambah dengan 4 aturan yang baru :

1)      Universal Instantiation

Kuantor umum sebuah fungsi proposisi hanya benar jika dan hanya jika semua substitution instance fungsi proposisinya benar. Dengan demikian, kita dapat menarik kesimpulan bahwa suatu substitution instance sebuah fungsi proposisi dapat ditarik secara valid dari kuantor umumnya.

Kita dapat menyatakan aturan ini dengan notasi :

             dimana a adalah lambang individual.

Rumus ini memungkinkan kita untuk menarik secara valid sebuah substitution instance dari Kuantor umum sebuah fungsi proposisi. Oleh karena itulah rumus atau aturan ini dinamakan Universal Instantiation, disingkat UI.

Contoh 1 :

Perlihatkanlah bukti lansung pembuktian validitas argumen berikut :

Semua kucing adalah hewan yang menyusui.

Puppy adalah seekor kucing.

Jadi, poppy adalah hewan menyusui.

Pembuktiannya dapat dilakukan sebagai berikut :

1.      ( ⩝ x ) ( Kx ⊃ Hx )

2.      Kp                              /∴ Hp,

3.      Kp ⊃ Hp                       1,UI.

4.      Hp                             3,2,MP.

(pada contoh ini dimisalkan Kx : x adalah seekor kucing dan Hx : x adalah hewan menyusui, sedangkan “p” sebagai wakil dari Puppy).

Contoh 2 :

Susunlah bukti formal pebuktian validitas argumen berikut:

Semua orang yang sabar akan berhati tenang.

Tak ada orang yang berhati tenang ceoat naik darah.

Ratnasari adalah orang yang sabar.

Jadi, Ratnasari tidak ceoat naik darah.

Penyelesaian :

Misalkan Sx  : x adalah orang yang sabar,

                 Tx  : x berhati tenang.

                 Cx  : x cepat naik darah,

                   r   : lambang individual Ratnasari.

Jalan pembuktiannya dapat disusun seperti dibawah ini :

1. (⩝ x) ( Sx ⊃ Tx )                  Pr.

2. ( ⩝ x )  (Tx ⊃ ~ Cx)                Pr.

3. Sr                                              Pr. / ∴Cr.

4. Sr ⊃ Tr                                               1,UI.

5. Tr ⊃ ~ Cr                                           2,UI.

6. Sr ⊃ ~ Cr                                        4,5,HS.

7. ~ Cr                                                 6,3,MP.

2)      Universal Generalization

Dalam rumus (aturan) Universal Generalization (UG), kita menarik konklusi generalisasi secara umum. Kita menyimpulkan apa yang merupakan ciri khas atau sifat suatu individu, yang juga terdapat pada individu lain yang sejenis, sehingga akhirnya kita menarik kesimpulan yang berlaku umum, yakni kesimpulan bahwa sifat atau ciri khas tersebut berlaku pula untuk sembarang in divide. Dengan demikian, jika “a” sebagai lambang individual, maka “Ma’ yang benar akan mengakibatkan adanya Mx yang benar pula.

Dalam bentuk lambang, UG dinotasikan dengan :

             a adalah lambing individual.

Contoh :

Perhatikanlah argumen di bawah ini .

Semua mahasiswa Matematika adalah manusia.

Tak ada manusia yang  hidup seribu tahun.

Jadi, tak ada mahasiswa Matematika yang hidup seribu tahun.

Penyusunan  bukti formalnya dapat dilakukan sebagai berikut :

Misalkan Ax : x adalah seorang ahasiswa Matematika,

                 Bx : x adalah manusia,

                 Cx : hidup seribu tahun.

1. ( ⩝ x ) ( Ax ⊃ Bx )                                      Pr.

2. ( ⩝ x ) ( Bx ⊃ ~ Cx )                                  Pr. / ∴ ( ⩝ x ) ( A ⊃ ~ Cx).

3. Aa ⊃ Ba                                                       1,UI  

4. Ba ⊃ ~ Ca                                                   2,UI.

5. Aa ⊃ ~ Ca                                               3,4 HS.

6. ( ⩝ x )Ax ⊃ ~ Cx )                                    5,UG.

3)      Exixtensial Generalization

Seperti yang telah kita ketahui, Kuantor Eksistensial sebuah fungsi proposisi adalah benar jika dan hanya jika fungsi proposisi tersebut mempunyai paling sdikit sebuah substitution instance yang benar. Ini memungkinkan kita untuk dapat melakukan inferensi dari suatu substitution instance yang benar menghasilkan Kuantor Eksistensial sebuah fungsi proposisi yang benar pula.

Aturan ini dinamakan Existensial Generalization, disingkat EG, dan ditulis dengan :

             a adalah lambang individual.

Contoh :

Perhatikan sebuah agumen dibawah ini .

Setiap bilangan prima adalah bilangan asli.

Jadi, jika 2 adalh bilangan prima, maka beberapa bilangan prima adalah bilangan asli.

Misalkan : Px  : x adalah bilangan prima ;

                   Ax  : x adalah bilangan asli:

                   Dan “2” dilambangkan dengan “d”,

Maka validitas argumen di atas dapat disusun sebagai berikut :

1. ( ⩝ x ) ( Px ⊃ Ax )                               Pr./∴Pd⊃(∃x)(Px⋀Ax)(CP).

2. Pd                                                                /∴(∃x)(Px⋀Ax(CP).

3. Pd  ⊃ Ad                                                      1, UI

4. Ad                                                              3,2,MP.

5. Pd ⋀ Ad                                                   2,4.Conj.

6. ( ∃ x )( Px ⋀ Ax )                                         5,EG.

4)      Existensial Instantiation

Pada sebuah Kuantor Eksistensial sebuah fungsi proposisi paling sedikit ada sebuah substitusi tertentu yang dapat menggantikan variable “x” pada fungsi proposisi tersebut, yang akan menghasilkan sebuah substitution instance. Memang kita tidak boleh tahu sesuatu pun  tentang konstanta individual tersebut, namun kita dapat mengambil suatu konstanta individual selain “a”, misalnya “y”, yang tak pernah muncul sebelumnya dalam pembuktian yang sedang kita laksanakan. Dengan adanya konstanta individual “y” ini, mak kita dapat menarik konkludsi dari Kuantor Eksistensial sebuah fuungsi proposisi yang mengandung lambing “y”. Aturan ini dikenal dengan nama Existential Instantiation, yang sering disingkat dengan symbol EI.

Aturan baru ini dapat dinyatakan dengan :   
 

y adalah sebuah konstanta individual selain “a”, yang tak pernah muncul, dalam pembuktian yang sedang kita lakukan.

Contoh :

Perhatikan argumen berikut :

Semua mahasiswa pemenang beasiswa adalah mahasiswa yang berprestasi.

Beberapa mahasiswa Matematika adalah pemenang bea siswa .

Jadi, beberapa mahasiswa Matematika adalah mahasiswa uang berprestasi.

Dalam lambang, pembuktian argumen ini dapat disajikan seperti berikut :

1. ( ⩝ x ) ( Px ⊃ Bx )                            Pr.

2. ( ∃ x ) ( Mx ⋀ Px )                           Pr./∴(∃x)(Mx⋀Bx).

3. My ⋀ Py                                            2,EI.

4. Py ⊃ By                                            1,UI

5. Py ⋀ My                                           3,Comm.

6. Py                                                      5,Simp.

7. By                                                  4,6 MP.

8. My                                                     3, Simp.

9. My ⋀ By                                        8,7,Conj.

10.( ∃ x ) ( Mx ⋀ Bx )                        9 ,EG.

PEMBUKTIAN INVALIDITAS ARGUMEN BERKUANTOR

Jika sebuah argumen tidak valid, maka tidaklah mungkin untuk membentuk langkah pembuktian seperti pada argument yang valid. Meskipun kenyataannya kita gagal membuktikan bahwa sebuah argument valid, namun tidaklah menjamin bahwa memang argument tersebut tak dapat diperlihatkan validitasnya. Hal ini mungkinm saja karena kuran terampilnya seseorang dalamk membuktikannya.

Untuk membuktikan invaliditas sebuah argumen, kita akan mengembangkan suatu metode khusus bagi pernyataan berkuantor yang termasuk dalam sebuah argumen invalid.

Jika dalam fungsi proposisi berikut ada individu “a”, maka :

(∀x) Fx dan (Ǝx) Fx keduanya ekuivalen dengan Fa.

(∀x) (Ǝx) (Fx ⋀ Gy) ekuivalen dengan Fa ⋀ Ga.

(Ǝx) (∀y) (Ǝz) (Fx ⊃ (Gy ⋀ Hz).

Jika 3 individu a,b, dan c disubstitusikan pada fungsi proposisi Fx, maka :

(∀x) Fx ekuivalen dengan Fa ⋀ Fb ⋀ Fc.

(Ǝx) Fx ekuivalen dengan Fa ⋁ Fb ⋁ Fc.

Prinsip ini dapat kita perluas lagi sehingga kita peroleh :

(∀x) Fx ekuivalen dengann F(1) ⋀ F(2) . . . ⋀ F(n).

(Ǝx) Fx ekuivalen dengan F(1) ⋁ F(2) ⋁ . . . F(n).

Sekarang perhatikan sebuah fungsi proposisi yang berkuantor berikut ini :

(∀x) (Ǝy) (Fx ⋀ Gy)

Pernyataan ini mempunyai arti “Bagi setiap x, maka ada beberapa y, sedemikian rupa sehingga berlaku Fx ⋀ Gy”.

Jika 2 individu “a” dan “b” yang kita substitusikan pada fungsi proposisi ini, maka kita akan mendapatkan kesamaan :

( ⩝ x ) ( Ǝy ) ( Fx  ⋀  Gy )      ≡ ( Ǝ y )  ( Fa ⋀  Gy ) ⋀ ( Ǝ y ) ( Fb ⋀ Gy  )

 ≡  [ ( Fa ⋀ Ga )  ⋁ ( Fa ⋀ Gb )  ] ⋁ [ ( Fb ⋀ Ga ) ⋁  ( Fb ⋀ Gb ) ]

Perhatikan pula pernyataan yang di simbolkan dengan :

( ∃ y ) ( ⩝ x ) ( Fx ⋀ Gy ).

Pernyataan ini memiliki pengertian “ Ada y sedemikian  rupa sehingga bagi setiap x, berlaku  Fx ⋀ Gy”.  Dari bentuk ini kita memperoleh :

( Ǝ y ) (⩝ x ) ( Fx ⋀ Gy )        = (⩝ x ) ( Fx ⋀ Ga ) ⋁ (⩝ x ) ( Fx ⋀ Gb ) .

=[ ( Fa ⋀ Ga ) ⋀ ( Fb ⋀ Ga ) ] ⋀ [ ( Fa ⋀ Gb ) ⋀ ( Fb ⋀ Gb ) ].

Sebuah argumen yang mengandung pernyataan berkuantor adalah invalid jika dalam proporsinya ada paling  sedikit satu individu sedemikian rupa sehingga premisnya dapat dinyatakan dengan nilai kebenaran  benar (B), sedangkan konklusinya dengan nilai kebenaran salah (S), maka akan muncul suatu hal yang kontradiktif (suatu hal yang mustahil terjadi) jika argumen yang kita periksa invaliditasnya merupakan argumen valid. Dan sebaliknya tak muncul hal-hal yang kontradiktif, jika argumen yang kita buktikan merupakan argumen invalid .

Untuk mengetahui cara-cara membuktikan invaliditas argumen yang memuat penyataan berkuantor, perhatikan semua arumen di bawah ini :

Semua fungsi kosinus termasuk fungsi yang dapat diturunkan.                                                                 Ada beberapa fungsi yang dapat diturunkan tapi tak termasuk fungsi sinus.                                               Jadi, ada beberapa fungsi kosinus yang tak ternasuk fungsi kosinus.

Dalam bentuk simbol argumen diatas dapat dinotasikan dengan:

( ⩝ x  ) ( 𝙺x ⊃ Dx )

( ∃ x ) ( Dx ⋀ ∼ Sx )                    /∴ ( ∃x ) ( 𝙺x  ⋀ Sx ).

Jika kita subtitusikan dengan sebuah undividu “a”,maka akan di dapat :

𝙺a ⊃Da

Da  ⋀ ∼ Sa            / ∴ 𝙺a ⋀ ∼ Sa.

Jika kita menetapkan nilai kebenaran Ka dengan S, Da serta Sa dengan B, akan tercipata premis yang benar, serta konklusi yang salah. Ternyata degan menciptakan premis dan konklusif dalam “situasi ” demikian, tak mengakibatkan muncul hal-hal yang sifatnya kontradiktif. Ini berarti argumen yang kita buktikan merupakan argumen invalid.

Berikut ini adalah contoh lainnya :

Beberapa buku impor sangat mahal harganya.

Beberapa rumah di pondok  Elok Real Estate sangat mahal harganya.

Jadi, beberapa rumah di pondok Elok Real Estate adalah buku impor.

Kita buat notasi untuk argumen ini dengan :

( ∃ x ) ( Bx ⋀ Sx )

( ∃ x ) ( Rx ⋀ Sx )          / ∴ (∃x ) ( Rx ⋀ Bx ).

Misalkan ada sebuah individu “a”, maka berlaku

 Ba ⋀ Sa

Ra  ⋀ Sa               / ∴ Ra  ⋀ Ba.

            Jika kita nyatakan premisnya dengan B, sedangkan konklusinya dengan  S, maka dapat kesimpulan bahwa  argumen tersebut “valid”. Misalkan Ba ⋀ Sa benar, Ra ⋀ Sa benar Ra ⋀ Ba dan salah, maka jelas ini kontradiktif dan tidak mungkin. Apakah dengan demikian kita langsung beranggapan  bahwa argumen tersebut benar-benar valid?

Menghadapi argumen yang demikian, kita harus hati-hati. Bila argumen tersebut benar valid, maka akan berlaku pula  jika kita subtitusikan 2 individu yang berlainan atau lebih, sehingga dengan subtitusi ini pun masih menampakkan argumen yang valid. Jika dengan langkah demikian ternyata tak menunjujkkan adanya satu hal yang kontradiktif, maka kita dapat menyimpulkan bahwa memang argumen tersebut merupakan argumen yang invalid.

Sekarang  kita periksa argumen diatas. Jika kita subtitusikan 2 individu ,a dan b, maka didapat:

(Ba ⋀ Sa ) ⋁ ( Bb  ⋀ Sb )

 ( Ra ⋀ Sa ) ⋁ ( Rb ⋀ Sb )               / ∴ ( Ra ⋀ Ba ) ⋁ ( Rb ⋀  Bb ).

Jika kita periksa bentuk yang telah merupakan hasil subtitusi ini, maka akan nampak pada kita bahwa argumen yang kita uji ini merupakan argumen yang invalid.

Supaya  kita memperoleh sebuah fungsi proposi yang tepat  argumen dengan pernyataan berkuantor, kita harus mengujinya dengan mencoba mensubtitusikan satu individu, yang di lanjutkan dengan 2 individu. Akan nampak dengan segera bahwa bahwa dengan 2 individu muncul hal-hal yang kontradiktif dalam arti hal-hal yang mustahil terjadi, jika memang argumen tersebut  valid. Sebaliknya, jika argumen yang kita periksa tak menampakkan hal tersebut, bahwa dapat disimpulkan bahwa argumen yang kita buktikan memang invalid.

                                                                                                          

DAFTAR PUSTAKA

            Kusumah, Yaya. 1986. Logika Matematika Elementer. TARSITO : Bandung

            Tampomas, Husein. 2007. Matematika Jilid 1 untuk SMA/MA Kelas X. Erlangga :